2017最新奧數試題解析

甲多開支100元，三年后負

債600元.求每人每年收入多少?

S的末四位數字的和是多少?

一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程.

求和

證明：質數p除以30所得的余數一定不是合數.

若兩個整數x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除.

如圖1-95所示.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點.求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

答案解析：

所以 x=5000(元).

所以S的末四位數字的`和為1+9+9+5=24.

因為

時，a-b0，即ab.即當b0或b0時，等式成立.4.設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則

有

由②有2x+y=20， ③

由①有y=12-x.將之代入③得

2x+12-x=20.

所以x=8(千米)，于是y=4(千米).

5.第n項為

所以

設p=30q+r，030.因為p為質數，故r0，即0

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q).

可知m4.由①，m0，且為整數，所以m=1，2，3.下面分別研究p，q.

(1)若m=1時，有

解得p=1，q=1，與已知不符，舍去.

(2)若m=2時，有

因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解.

(3)若m=3時，有

解之得

故 p+q=8.

8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設，9|(x2+xy+y2)，所以3|(x2+xy+y2)，從而3|(x-y)2.因為3是質數，故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy，故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x，結合3(x-y)，便得3|y;若3|y，同理可得，3|x.

9.連結AN，CN，如圖1-103所示.因為N是BD的中點，所以

上述兩式相加

另一方面，

S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

因此只需證明

S△AND=S△CNP+S△DNP.

由于M，N分別為AC，BD的中點，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP.

又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.

奧數試題解析

甲多開支100元，三年后負

債600元.求每人每年收入多少?

S的末四位數字的和是多少?

一個人以3千米/小時的速度上坡，以6千米/小時的速度下坡，行程12千米共用了3小時20分鐘，試求上坡與下坡的路程.

求和

證明：質數p除以30所得的余數一定不是合數.

若兩個整數x，y使x2+xy+y2能被9整除，證明：x和y能被3整除.

如圖1-95所示.在四邊形ABCD中，對角線AC，BD的中點為M，N，MN的延長線與AB邊交于P點.求證：△PCD的面積等于四邊形ABCD的面積的一半.

答案解析：

所以 x=5000(元).

所以S的末四位數字的和為1+9+9+5=24.

因為

時，a-b0，即ab.即當b0或b0時，等式成立.4.設上坡路程為x千米，下坡路程為y千米.依題意則

有

由②有2x+y=20， ③

由①有y=12-x.將之代入③得

2x+12-x=20.

所以x=8(千米)，于是y=4(千米).

5.第n項為

所以

設p=30q+r，030.因為p為質數，故r0，即0

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq，即

(4-m)pq+1=2(p+q).

可知m4.由①，m0，且為整數，所以m=1，2，3.下面分別研究p，q.

(1)若m=1時，有

解得p=1，q=1，與已知不符，舍去.

(2)若m=2時，有

因為2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的，故m=2時無解.

(3)若m=3時，有

解之得

故 p+q=8.

8.因為x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由題設，9|(x2+xy+y2)，所以3|(x2+xy+y2)，從而3|(x-y)2.因為3是質數，故3|(x-y).進而9|(x-y)2.由上式又可知，9|3xy，故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x，結合3(x-y)，便得3|y;若3|y，同理可得，3|x.

9.連結AN，CN，如圖1-103所示.因為N是BD的中點，所以

上述兩式相加

另一方面，

S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.

因此只需證明

S△AND=S△CNP+S△DNP.

由于M，N分別為AC，BD的中點，所以

S△CNP=S△CPM-S△CMN

=S△APM-S△AMN

=S△ANP.

又S△DNP=S△BNP，所以

S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.